Question

（2013•徐州模擬）設中心在原點的雙曲線與橢圓

x2

2

+y²=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該雙曲線的方程是

2x²-2y²=1

．

Answer 1

分析：欲求雙曲線方程，只需求出雙曲線中的a，b的值即可，根據雙曲線與橢圓

x2

2

+y²=1有公共的焦點，求出橢圓中的c值，也即雙曲線中的c值，再求出橢圓中的離心率，因為橢圓與雙曲線的離心率互為倒數，所以可得雙曲線中離心率，據此求出a值，再利用a，b，c之間的關系式，就可得到雙曲線的方程．

解答：解：橢圓

x2

2

+y²=1中c=1
∵中心在原點的雙曲線與橢圓

x2

2

+y²=1有公共的焦點
∴雙曲線中c=1，
∵橢圓

x2

2

+y²=1的離心率為

c

a

=

2

2

，橢圓與雙曲線的離心率互為倒數．
∴雙曲線的離心率為

2

，
∴雙曲線中a=

2

2

，b²=c²-a²=

1

2

，b=

2

2

∴雙曲線的方程為2x²-2y²=1
故答案為2x²-2y²=1．

點評：本題主要考查了橢圓，雙曲線的標準方程以及性質的應用．