Question

若數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列

已知等方差數(shù)列滿足。

  （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

  （Ⅱ）記，則當(dāng)實(shí)數(shù)大于4時(shí)，不等式能否對(duì)于一切的恒成立？請(qǐng)說明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于一切的恒成立．

【解析】本試題主要考查了等方差數(shù)列的定義的理解和運(yùn)用，涉及到求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列解決不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列和，得到公差d，進(jìn)而求解通項(xiàng)公式。

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415411841633717/SYS201208241541549267800173_DA.files/image009.png">，不等式恒成立，

即對(duì)于一切的恒成立，運(yùn)用分離參數(shù)法的思想得到證明。

解：（Ⅰ）由，得，，．…………………3分

，

，，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為；………………… 6分

（Ⅱ）解法一：，不等式恒成立，

即對(duì)于一切的恒成立． ………………… 8分

設(shè)． ………………… 9分

當(dāng)時(shí)，由于對(duì)稱軸，且

而函數(shù)在是增函數(shù)，………………… 10分

不等式恒成立，

即當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于一切的恒成立． ……………… 12分

解法二：，不等式恒成立，

即對(duì)于一切的恒成立． ………………… 8分

………………… 9分

，．………………… 10分

而

恒成立．

故當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于一切的恒成立． ………………… 12分