Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a1=1，an+12=Sn+1+Sn ．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=a2n﹣1 ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（1）∵an+12=Sn+1+Sn ， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，=Sn+Sn﹣1 ， 可得an+12﹣=an+1+an ，
∵an+1+an＞0，∴an+1﹣an=1．
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴an=1+（n﹣1）×1=n．
（2）bn=a2n﹣1=（2n﹣1）2n ．
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n ．
∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1 ，
∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，
【解析】（1）由an+12=Sn+1+Sn ， 利用遞推關(guān)系可得an+12﹣=an+1+an ， 由于an+1+an＞0，可得an+1﹣an=1．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．