Question

現有一張長為80 cm，寬為60cm的長方形鐵皮ABCD，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失．如圖，若長方形ABCD的一個角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側面，設長方體的底面邊長為x(cm)，高為y(cm)，體積為V(cm3)

(1)求出x 與 y 的關系式；

(2)求該鐵皮盒體積V的最大值．

 

Answer 1

（1）y＝，0＜x＜60.（2）32000 cm3

【解析】(1)由題意得x2＋4xy＝4 800，

即y＝，0＜x＜60.

(2)鐵皮盒體積V(x)＝x2y＝x2×＝－x3＋1 200x，V′(x)＝－x2＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，因為x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函數；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是減函數，所以V(x)＝－x3＋1 200x，在x＝40時取得極大值，也是最大值，其值為32 000 cm3.

所以該鐵皮盒體積V的最大值是32000 cm3.