Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²，若?x∈[-2-

2

，2+

2

]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范是

 

．

Answer 1

分析：由當x≥0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足2f（x）=f（

2

x），再根據不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[-2-

2

，2+

2

]恒成立，可得x+t≥

2

x在[-2-

2

，2+

2

]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=x²
∵函數是奇函數
∴當x＜0時，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2  x≥0 -x2 x＜0

，
∴f（x）在R上是單調遞增函數，
且滿足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[-2-

2

，2+

2

]上恒成立，
∴x+t≥

2

x在[-2-

2

，2+

2

]恒成立，
即：x≤（1+

2

）t在x∈[-2-

2

，2+

2

]恒成立，
∴2+

2

≤（1+

2

）t
解得：t≥

2

，
故答案為：[2，+∞）．

點評：本題考查函數單調性的應用：利用單調性處理不等式恒成立問題．將不等式化為f（a）≥f（b）形式是解題的關鍵，屬中檔題．