Question

）設(shè)（2-x）¹⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀₀x¹⁰⁰，求下列各式的值：
（1）a₀;
(2)a₁+a₂+…+a₁₀₀;
(3)a₁+a₃+a₅+…+a₉₉;
(4)(a₀+a₂+…+a₁₀₀)²-(a₁+a₃+…+a₉₉)².

Answer 1

(1) 2¹⁰⁰ (2)(2-)¹⁰⁰-2¹⁰⁰ (3) （4）1

（1）由（2-x)¹⁰⁰展開式中的常數(shù)項為C·2¹⁰⁰,
即a₀=2¹⁰⁰，或令x=0，則展開式可化為a₀=2¹⁰⁰.
（2）令x=1,可得
a₀+a₁+a₂+…+a₁₀₀=(2-)¹⁰⁰.                             ①
∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=(2-)¹⁰⁰-2¹⁰⁰.
(3)令x=-1可得
a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀₀=(2+)¹⁰⁰.                          ②
與x=1所得到的①聯(lián)立相減可得，
a₁+a₃+…+a₉₉=.
(4)原式=［（a₀+a₂+…+a₁₀₀）+(a₁+a₃+…+a₉₉)］×［(a₀+a₂+…+a₁₀₀)-(a₁+a₃+…+a₉₉)］
=(a₀+a₁+a₂+…+a₁₀₀)(a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₉₈-a₉₉+a₁₀₀)
=(2-)¹⁰⁰·（2+）¹⁰⁰="1."