Question

【題目】如圖，直三棱柱 中， , , 是棱上的動(dòng)點(diǎn).

證明： ；

若平面分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分，試確定點(diǎn)的位置，并求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）30°

【解析】試題分析：（1）由平面得，再由,得平面,

所以；（2）根據(jù)割補(bǔ)法求，根據(jù)體積為三棱柱一半，求得為中點(diǎn)；）取的中點(diǎn),根據(jù)垂直關(guān)系可得是二面角的平面角.最后解三角形可得二面角的大小

試題解析：解：（I）平面,

又,即

平面,

又平面， ；

(II) ,

依題意,

為中點(diǎn)；

（法1）取的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接

,面面面

,得點(diǎn)與點(diǎn)重合，且是二面角的平面角.

設(shè)，則,得二面角的大小為30°.

（法2）以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長(zhǎng)為 1，則.

作中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而平面，平面的一個(gè)法向量

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

，令，得，

故二面角為30°.