Question

關于函數f（x）=sin（2x+

π

6

），有如下結論：
①函數f（x）的最小正周期為π；
②函數y=f（x）的圖象關于點（

π

6

，0）成中心對稱；
③函數y=f（x+t）為偶函數的一個充分不必要條件是t=

π

6

；
④把函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位后，再把圖象上各點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），便得到y=f（x）的圖象．
其中正確的結論有

①③④

．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析：根據正弦函數的周期計算公式得①正確．
根據點（

π

6

，0）不是函數圖象與x軸的交點，故函數圖象不關于點（

π

6

，0）對稱，故②不正確．
根據正弦函數的周期性，得函數y=f（x+t）為偶函數的一個充分必要條件，得③正確．
由于函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位后，而得到y=sin（x+

π

6

），再把圖象上各點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），便得到 y=sin（2x+

π

6

），故④正確．

解答：解：對于①，由周期計算公式T=

2π

W

=

2π

2

=π，得函數f（x）的最小正周期為π．正確；
對于②，因為當x=

π

6

時，函數f（x）=sin（2x+

π

6

）=1，故函數圖象關于點（

π

6

，0）對稱，故②不正確．
對于③函數y=f（x+t）=sin（2x+2t+

π

6

）為偶函數的一個充分必要條件是2t+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，
即t=

π

6

+kπ，k∈Z，特別地當k=0時，t=

π

6

，
故函數y=f（x+t）為偶函數的一個充分不必要條件是t=

π

6

；正確；
對于④，由于函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位后，而得到y=sin（x+

π

6

），再把圖象上各點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），便得到 y=sin（2x+

π

6

），故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查正弦函數的對稱性，以及y=Asin（ωx+∅）圖象的變換，掌握y=Asin（ωx+∅）圖象和性質是解題的關鍵．