Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內有一點P（1，-1），F是橢圓的右焦點．
（1）求該橢圓的離心率．
（2）在橢圓上求一點M，使得|MP|+2|MF|的值最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的標準方程得到a²、b²的值，再由c=

a2-b2

求出c的值，再求出離心率；
（2）根據題意畫出圖形，利用橢圓的第二定義，把|MF|轉化到右準線的距離，利用“兩點間的距離最短”和條件，求出最小值以及對應的M點的坐標．

解答：解：（1）依題設a2=4，b2=3，c=

a2-b2

=1
所以，離心率e=

c

a

=

1

2

（2）如圖：過M點作MQ垂直于橢圓的右準線，垂足為點Q，
由橢圓的第二定義和（1）可知：

|MF|

|MQ|

=

1

2

，所以|MF|=

1

2

|MQ|，
故|MP|+2|MF|=|MP|+|MQ|，
所以當P、M、Q三點共線時，由P（1，-1）得，
所求的值最小為|PQ|=(

a2

c

-xP)=4-1=3，
把y=-1代入橢圓方程，解得x=

2 6

3

或x=-

2 6

3

（舍去），
此時，M(

2 6

3

，-1)．

點評：本題考查了橢圓的簡單性質應用，要求會根據橢圓的標準方程求出a、b、c、e的值，對于求距離的最值，一般利用第二定義把“橢圓上點到焦點的距離和到對應準線的距離”進行轉化．