Question

已知F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，|

F1F2

|=2，離心率 e=

1

2

，過橢圓右焦點F₂的直線 l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線 l的傾斜角為

π

4

，求線段MN中點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件及e=

c

a

、a²=b²+c²即可解出a、b、c，從而求出橢圓C的方程；
（2）利用點斜式求出直線l的方程，與橢圓的方程聯立即可得出關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系及中點坐標公式即可求出線段MN的中點坐標．

解答：解：（1）∵2c=|

F1F2

|=2，∴c=1，
又由e=

c

a

=

1

2

，得a=2，∴b²=2²-1²=3，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵F₂（1，0），k_l=tan

π

4

=1．
∴直線l：y=x-1，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
線段MN的中點為G（x₀，y₀）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x1+x2=

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=

4

7

，y0=x0-1=-

3

7

，
故線段MN的中點為(

4

7

，-

3

7

)．

點評：熟練掌握橢圓的定義與性質、一元二次方程的根與系數的關系、線段的中點坐標公式及直線與圓錐曲線的相交問題的解題方法是解題的關鍵．