Question

對于函數f（x）=lg|x-2|+1，有如下三個命題：
①f（x+2）是偶函數；
②f（x）在區間（-∞，2）上是減函數，在區間（2，+∞）上是增函數；
③f（x+2）-f（x）在區間（2，+∞）上是增函數．
其中正確命題的序號是

①，②

．（將你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：由f（x）=lg|x-2|+1，知f（x+2）=lg|x|+1是偶函數；由f（x）=lg|x-2|+1=

lg(x-2)+1，x＞2 lg(2-x)，x＜2

，知f（x）在區間（-∞，2）上是減函數，在區間（2，+∞）上是增函數；f（x）=lg|x-2|+1，知f（x+2）-f（x）=lg|1+

2

x-2

|在區間（2，+∞）上是減函數．

解答：解：∵f（x）=lg|x-2|+1，
∴f（x+2）=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1是偶函數，
故①正確；
∵f（x）=lg|x-2|+1=

lg(x-2)+1，x＞2 lg(2-x)，x＜2

，
∴f（x）在區間（-∞，2）上是減函數，在區間（2，+∞）上是增函數，
故②正確；
∵f（x）=lg|x-2|+1，
f（x+2）=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1，
∴f（x+2）-f（x）=lg|x|-lg|x-2|=lg|

x

x-2

|=lg|1+

2

x-2

|在區間（2，+∞）上是減函數，
故③不正確．
故答案為①，②．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意對數函數的性質的靈活運用．