Question

（2012•北海一模）如圖，在120°二面角α-l-β內(nèi)半徑為1的圓O₁與半徑為2的圓O₂分別在半平面α、β內(nèi)，且與棱l切于同一點(diǎn)P，則以圓O₁與圓O₂為截面的球的表面積為（　　）

• A．4π
• B．

  28π

  3

• C．

  112π

  3

• D．

  448π

  3

Answer 1

分析：設(shè)球心為O，連接O₁P，O₂P，則O，O₁，O₂，P四點(diǎn)共圓，且OP為所在圓的直徑，也為球的半徑．在三角形O₁PO₂中，由余弦定理得出O₁O₂=

7

，再由正弦定理求出OP．利用球表面積公式計(jì)算．

解答：解：設(shè)球心為O，連接O₁P，O₂P，則O，O₁，O₂，P四點(diǎn)共圓，且OP為球的半徑．
根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，OO₁⊥α，OO₂⊥β．
可知∠O₁PO₂為二面角α-l-β的平面角，∠O₁PO₂=120°，
從而，∠O₁OO₂=60°，在三角形O₁PO₂中，由余弦定理得出O₁O₂=

7

，再由正弦定理得出
OP=

O1O2

sin∠O1OO2

=

7

3 2

=

2 21

3

．
球的表面積S=4πR2=4π×(

2 21

3

)2=

112π

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．（選項(xiàng)C應(yīng)該改為：

112π

3

．）