Question

【題目】設為實數，函數．

（1）當時，求在區間上的最大值；

（2）設函數為在區間上的最大值，求的解析式；

（3）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）0（2）t（a）（3）12﹣8

【解析】

（1）a＝1時，函數f（x）＝（x﹣1）2﹣1，根據二次函數的性質即可求出它的值域；

（2）化簡g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，討論確定函數的單調性，求出最大值，得出t（a）的解析式；

（3）分別求出各段函數的最小值（或下確界），比較各個最小值，其中的最小值，即為求t（a）的最小值．

（1）a＝1時，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，

∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，

在區間上的最大值為0；

（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，

①當a≤0時，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上是增函數，

故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；

②當0＜a＜1時，

g（x）在[0，a）上是增函數，在[a，2a）上是減函數，在[2a，2]上是增函數，

而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，

g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），

故當0＜a＜22時，

t（a）＝g（2）＝4﹣4a，

當22≤a＜1時，

t（a）＝g（a）＝a2，

③當1≤a＜2時，

g（x）在[0，a）上是增函數，在[a，2]上是減函數，

故t（a）＝g（a）＝a2，

④當a≥2時，g（x）在[0，2]上是增函數，

t（a）＝g（2）＝4a﹣4，

故t（a）；

（3）由（2）知，

當a＜22時，t（a）＝4﹣2a是單調減函數，，無最小值；

當時，t（a）＝a2是單調增函數，且t（a）的最小值為t（22）＝12﹣8；

當時，t（a）＝4a﹣4是單調增函數，最小值為t（2）＝4；

比較得t（a）的最小值為t（22）＝12﹣8．