Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）有如下定義：
定義（1）：設f″（x）是函數y=f（x）的導數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”；
定義（2）：設x₀為常數，若定義在R上的函數y=f（x）對于定義域內的一切實數x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，則函數y=f（x）的圖象關于點（x₀，f（x₀））對稱．
己知f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1處取得極大值．請回答下列問題：
（1）當x∈[0，4]時，求f（x）的最小值和最大值；
（2）求函數f（x）的“拐點”A的坐標，并檢驗函數f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-6x+a
∵f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1處取得極大值
∴f′（-1）=0
∴a=-9 …（2分）
∴f（x）=x³-3x²-9x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-3）=0知x=-1或x=3…（3分）
當x變化時，f（x）變化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	7	減	-25	增

又f（0）=2，f（4）=-18
∴f（x）_min=-25，f（x）_max=2 …（6分）
（2）由（1）知f′（x）=3x²-6x-9，∴f″（x）=6x-6 …（8分）
由f″（x）=0，即6x-6=0，∴x=1，
又f（1）=-9，
∴f（x）=x³-3x²-9x+2的“拐點”A的坐標是（1，-9）…（10分）
∵f（1+x）+f（1-x）=-18，2f（1）=-18
∴由定義（2）知：f（x）=x³-3x²-9x+2的圖象關于點A（1，-9）對稱…（12分）
分析：（1）求導函數，利用f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1處取得極大值，求出a的值，確定函數的單調性，從而可求f（x）的最小值和最大值；
（2）利用函數f（x）的“拐點”的定義，可求A的坐標，利用定義（2），即可求得結論．
點評：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件．