Question

已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗(yàn)方法：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．
（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望．

Answer 1

（Ⅰ）若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能：
①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：

C 24 A 33

A 35

 ×

1

A 13

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗(yàn)出陽性（無論第二次試驗(yàn)中有沒有，均可以在第二次結(jié)束）

A 34

A 35

A 12

A 22

=

24

5×3×4

=

2

5

（

C 34

C 35

=

4

10

×

1

2

=

1

5

）
∴乙只用兩次的概率為

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能：
先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好二次驗(yàn)中概率為在三次驗(yàn)出時(shí)概率為

2

5

∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．