Question

函數f（x）是定義在R上的奇函數，下列命題（　　）
①f（0）=0；②若f（x）在[0，+∞）上有最小值為-1，則f（x）在（-∞，0]上有最大值為1；
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則f（x）在（-∞，-1]上為減函數；
④若x＞0時，f（x）=x²-2x，則x＜0時，f（x）=-x²-2x其中正確命題的個數是．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：先根據奇函數的定義判斷出①對；根據奇函數的圖象關于原點對稱判斷出②對③錯；通過奇函數的定義求出當x＜0的解析式，判斷出④對．

解答：解：因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（-x）=-f（x），所以f（0）=0，
故①對；
因為奇函數的圖象關于原點對稱，
所以f（x）在[0，+∞）上有最小值為-1，則f（x）在（-∞，0]上有最大值為1；
故②對；
因為奇函數的圖象關于原點對稱，
所以f（x）在[1，+∞）上為增函數，則f（x）在（-∞，-1]上為增函數；
故③錯；
對于④，設x＜0，則-x＞0，
因為x＞0時，f（x）=x²-2x，
所以f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（x）=-x²-2x，
故④對；
所以正確的命題有①②④，
故選C．

點評：本題考查奇函數的定義、考查奇函數的圖象關于原點對稱、考查根據函數的奇偶性求函數的解析式，屬于中檔題．