Question

【題目】設個正數依次圍成一個圓圈，其中是公差為的等差數列，而是公比為的等比數列.

（1）若，求數列的所有項的和；

（2）若，求的最大值；

（3）當時是否存在正整數，滿足？若存在，求出值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）時，存在滿足等式.

【解析】

（1）先由題意得到，確定數列中元素，即可得出結果；

（2）先由是首項為，公差為的等差數列，得到；根據是公比為的等比數列，所以，推出，再由題意，即可得出結果；

（3）先由題意得到，，得到，再由題中條件，得到，進而可求出結果.

（1）由題意可得：，

因此數列為共個數，

此時，；

（2）因為是首項為，公差為的等差數列，所以；

而是公比為的等比數列，所以，因此，

所以，因此，要使最大，則最大；

又，故的最大值為，可得：，

解得：；即的最大值為；

（3）由是公差為的等差數列，可得：，

而是公比為的等比數列，所以.

故，即，

又，，

所以，即，

即，即，因此，

所以，

所以；代入驗證可得：當時，上式等式成立，此時；

綜上，當且僅當時，存在滿足等式.