Question

小王參加一次比賽，比賽共設三關，第一、二關各有兩個必答題，如果每關兩個問題都答對，可進入下一關，第三關有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關成功．每過一關可一次性獲得價值分別為1000元，3000元，6000元的獎品（不重復得獎），小王對三關中每個問題回答正確的概率依次為

4

5

，

3

4

，

2

3

，且每個問題回答正確與否相互獨立．
（1）求小王過第一關但未過第二關的概率；
（2）用X表示小王所獲得獎品的價值，寫出X的概率分布列，并求X的數學期望．

Answer 1

分析：（1）利用小王對三關中每個問題回答正確的概率依次為

4

5

，

3

4

，

2

3

，且每個問題回答正確與否相互獨立，即可求小王過第一關但未過第二關的概率；
（2）確定X的取值，求出相應的概率，即可得到X的概率分布列與X的數學期望．

解答：解：（1）小王過第一關但未過第二關的概率P₁，則P₁=(

4

5

)2(

1

4

+

3

4

×

1

4

)=

7

25

；
（2）x的取值為0，1000，3000，6000，則
P（X=0）=

1

5

+

4

5

×

1

5

=

9

25

；P（X=1000）=(

4

5

)2(

1

4

+

3

4

×

1

4

)=

7

25

；
P（X=3000）=(

4

5

)2(

3

4

)2[1-(

2

3

)2-

C

1 2

•(

2

3

)2×

1

3

]=

7

75

；
P（X=6000）=(

4

5

)2(

3

4

)2[(

2

3

)2+

C

1 2

•(

2

3

)2×

1

3

]=

4

15

∴X的概率分布列為

X	0	1000	3000	6000
P	9 25	7 25	7 75	4 15

∴EX=0×

9

25

+1000×

7

25

+3000×

7

75

+6000×

4

15

=2160．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．