Question

已知直線kx-y+1=0與雙曲線

x2

2

-y²=1相交于兩個不同的點A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x軸上的點M（3，0）到A、B兩點的距離相等，求k的值．

Answer 1

分析：（1）直線與雙曲線方程聯立消去y，根據判別式和1-2k²≠0，求得k的范圍．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據（1）中可知x₁+x₂的表達式，設P為AB中點，則P點坐標可得，根據M（3，0）到A、B兩點的距離相等，可知MP⊥AB，∴K_MP•K_AB=-1，代入即可求得k．

解答：解：（1）由

kx-y+1=0 x2 2 -y2=1

得（1-2k²）x²-4kx-4=0．
∴

1-2k2≠0 △=16k2+16(1-2k2)=16(1-k2) ＞0

解得：-1＜k＜1且k≠±

2

2

．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k

1-2k2

設P為AB中點，則P（

x1+x2

2

，

k(x1+x2)

2

+1），即P（

2k

1-2k2

，

1

1-2k2

），
∵M（3，0）到A、B兩點的距離相等，
∴MP⊥AB，∴K_MP•K_AB=-1，
即k•

1 1-2k2

2k 1-2k2 -3

=-1，解得k=

1

2

，或k=-1（舍去），
∴k=

1

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對圓錐曲線和直線問題的綜合把握．