Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）過點(diǎn)P（2，1），且離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足 ，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．
（i）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ii）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e= = = ，則a2=4b2 ， 將P（2，1）代入橢圓 ，則 ，解得：b2=2，則a2=8，
∴橢圓的方程為： ；
（Ⅱ）（i）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線過定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上，
當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 ，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，
則△=16（8k2﹣t2+2）＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
又直線PA的方程為y﹣1= （x﹣2），
即y﹣1= （x﹣2），
因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），同理可知：N（0， ），
由 ，則 + =0，
化簡整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，
則（2﹣4k）× ﹣（2﹣4k+2t）（﹣ ）+8t=0，
化簡整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，
當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí)，對任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）；
（ii）由（i）可知：S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨 丨OQ丨丨x1丨﹣ 丨OQ丨丨x2丨丨，
= ×2×丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨= ，
=4 ，
令4k2+1=u，則S△OAB=4 ，
=4 ≤2，
即當(dāng) = ，u=4，即k=± 時(shí)，等號成立，
∴△OAB面積的最大值2．
【解析】（Ⅰ）由離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用直線的點(diǎn)斜式方程，求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，由 ，利用韋達(dá)定理，化簡當(dāng)t=﹣2時(shí)，對任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）；（ii）S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨x1﹣x2丨，由韋達(dá)定理，弦長公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△OAB面積的最大值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．