Question

已知曲線C：x2+

y2

a

=1，直線l：kx-y-k=0，O為坐標原點．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）當k=1時，直線l與曲線C相交于兩點M，N，若|MN|=

2

，求曲線C的方程；
（3）當a=-1時，直線l與曲線C相交于兩點M，N，試問在曲線C上是否存在點Q，使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求實數λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分a＜0 時，a=1 時，0＜a＜1 時，a＞1 時這四種情況分別討論．
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數的關系、弦長公式求出 a 的值．
（3）當a=-1時，曲線C表示焦點在x軸上的等軸雙曲線，直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點（1，0），不妨設為點M，設點N（x₂，y₂），把直線l的方程代入曲線C的方程，由根與系數的關系求得點N坐標及k值，由

OM

+

ON

=λ

OQ

，求得點Q的坐標，從而得出結論．

解答：解：（1）對于曲線C：x2+

y2

a

=1，當a＜0 時，曲線表示焦點在x 軸上的雙曲線；
當a=1 時，曲線表示單位圓；   當0＜a＜1 時，曲線表示焦點在x 軸上的橢圓；
當a＞1 時，曲線表示曲線表示焦點在y 軸上的橢圓．
（2）當k=1時，直線l的方程為 y=x-1，代入曲線C：x2+

y2

a

=1得，（a+1）x²-2x+1-a=0，
∴x₁+x₂=

2

a+1

，x₁•x₂=

1-a

a+1

，由弦長公式得  |MN|=

2

=

1+k2

•|x1-x2| 
=

2

•

(x1+x2)2-2x1•x2

=

2

•

( 2 a+1 )2 - 2• 1-a a+1

，∴

2(a2+1) (a+1)2

=1，
∴a=1．
（3）當a=-1時，曲線C：x2+

y2

a

=1 即 C：x²-y²=1，表示焦點在x軸上的等軸雙曲線．
直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點（1，0），不妨設為點M，設點N（x₂，y₂）．
把直線l：kx-y-k=0代入曲線C的方程得 （1-k²）x²+2k² x-k²-1=0，由題意知，1和x₂是此方程的兩個根，
△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-1）＞0，∴1+x₂=-

2k2

1-k2

，1×x₂=

-k2-1

1-k2

，∴k=0．
∵

OM

+

ON

=λ

OQ

，∴

OQ

 =

1

λ

(

OM

+

ON

)=

1

λ

（ 1+x₂，0+y₂）=

1

λ

（ 0，0）=（0，0）．
∴點Q （0，0），故點Q不在曲線C上，故不存在點Q滿足條件．

點評：本題考查方程表示的曲線，弦長公式，兩個向量坐標形式的運算，一元二次方程根與系數的關系，求點Q的坐標是解題的難點．