Question

【題目】定義域在R的單調增函數滿足恒等式（x，），且.

(1)求，；

(2)判斷函數的奇偶性，并證明；

(3)若對于任意，都有成立，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)是奇函數，證明見解析；(3).

【解析】

(1)運用賦值法,代入求出的值,代入,結合已知條件求出的值.

(2)令代入已知的恒等式中,結合函數奇偶性的定義判斷出函數的奇偶性.

(3)由(2)知函數為奇函數,運用奇函數性質進行化簡,再結合函數的單調性求解不等式,解出實數k的取值范圍.

(1)令可得,

令,∴∴∴;

(2)令∴∴,即

∴函數是奇函數.

(3)∵是奇函數,且在時恒成立,

∴在時恒成立,

又∵是R上的增函數.

∴即在時恒成立.

∴在時恒成立.

令,

∵∴.由拋物線圖象可得∴.

則實數k的取值范圍為.