Question

【題目】已知函數，（其中a是常數）.

（1）求過點與曲線相切的直線方程；

（2）是否存在的實數，使得只有唯一的正數a，當時不等式恒成立，若這樣的實數k存在，試求k，a的值；若不存在.請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在,,

【解析】

（1）根據導數的幾何意義先求出切線斜率，進而可求切線方程，
（2）假設存在的正實數，使得只有唯一的正數，當時不等式恒成立，轉化為，分類討論求的最小值，令其大于等于零，利用導數求出k，a的值即可．

解：（1）設過點的直線與曲線相切于點，

因，則，

所以在處切線斜率為，

則在處切線方程為，

將代入切線方程得，所以，

所以切線方程為；

（2）假設存在實數，使得只有唯一的正數，當時不等式恒成立，即恒成立，

取，可知，

因為，，所以，令，

則，

由得.

（1）當時，

時，，則在上為減函數，

時，，則在上為增函數，

則，

即，令，

則，由，得，

時，，則在區間上為減函數，

時，，則在區間上為增函數，

因此存在唯一的正數，使得，故只能.

所以，

所以，此時a只有唯一值.

（2）當時，，所以在上為增函數，

所以，則，

故.

所以滿足的a不唯一

綜上，存在實數，a只有唯一值，當時，恒有原式成立.