Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數求導得，對進行分類討論，即可得到函數的單調區間；（2）由（1）可得， 時， 在上是增函數，而， 不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范圍；（3）由（2）知，當時，有在恒成立，即，進而換元可得，所以，即可得證.

試題解析：（1）定義域為，

若， ， 在上單調遞增

若， ，

所以，當時， ，當時，

綜上：若， 在上單調遞增；

若， 在上單調遞增，在上單調遞減

（2）由（1）知， 時， 不可能成立；

若， 恒成立， ，得

綜上， .

（3）由（2）知，當時，有在上恒成立，即

令，得，即

，得證.