Question

如圖，已知P是橢圓上且位于第一象限的一點，F是橢圓的右焦點，O是橢圓的中心，B是橢圓的上頂點，H是直線（c是橢圓的半焦距）與x軸的交點，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率的平方的值．

Answer 1

解：依題意，作圖如下：

∵F（c，0）是橢圓的右焦點，PF⊥OF，
∴P（c，），
∴直線OP的斜率k==；
又H是直線（c是橢圓的半焦距）與x軸的交點，
∴H（-，0），又B（0，b），
∴直線HB的斜率k′==；
∵HB∥OP，
∴=，
∴c²=ab，又b²=a²-c²，
∴c⁴=a²b²=a²（a²-c²），
∴e⁴+e²-1=0，
∴e²=．
分析：依題意，可求得P（c，），H（-，0），利用HB∥OP求得c²=ab，再利用橢圓的性質即可求得e²．
點評：本題考查橢圓的性質，利用HB∥OP求得c²=ab是關鍵，考查分析與計算能力，屬于中檔題．