Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓的下頂點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)、的面積.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，問：直線是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)橢圓離心率的公式和橢圓中的關(guān)系，可以判斷出的形狀，最后結(jié)合橢圓的定義和三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，三點(diǎn)共線進(jìn)行求解即可.

（1）由橢圓的離心率，則，，，

∴是等腰直角三角形，

又，

在中，，即.

解得，，，

∴的面積為，，，

∴橢圓方程為.

（2）設(shè)，，則，

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為（），

由有，

，，

，，

由、、三點(diǎn)共線，，即，

將，代入整理得，

即，

從而，即，解得，此時(shí)滿足.

則直線的方程為，故直線過定點(diǎn).

（其他解法正確同樣給分）