Question

（2013•青島二模）已知函數f(x)=sin(2x+

π

6

)-2cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞增區間；
（Ⅱ）設△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且f（A）=0，若向量

m

=(1，sinB)與向量

n

=(2，sinC)共線，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為sin(2x-

π

6

)-1．令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范圍，即可得到函數的單調遞增區間，從而求得函數f（x）在[0，π]上的單調遞增區間．
（Ⅱ）由f(A)=sin(2A-

π

6

)-1=0，求得A的值．由向量

m

=(1，sinB)與向量

n

=(2，sinC)共線，可得sinC=2sinB，由正弦定理得c=2b，再由余弦定理求得

a

b

的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+

π

6

)-2cos2x=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-(cos2x+1)=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1，…（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z) 求得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
所以，f（x）在[0，π]上的單調遞增區間為[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．…（6分）
（Ⅱ）∵f(A)=sin(2A-

π

6

)-1=0，則sin(2A-

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．…（8分）
∵向量

m

=(1，sinB)與向量

n

=(2，sinC)共線，
∴sinC=2sinB，由正弦定理得，c=2b．…（10分）
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos

π

3

，即a²=b²+4b²-2b²，
解得

a

b

=

3

…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的單調性，正弦定理、余弦定理、以及兩個向量共線的性質，屬于中檔題．