Question

（2013•鎮江二模）如圖所示，有兩條道路OM與ON，∠MON=60°，現要鋪設三條下水管道OA，OB，AB（其中A，B分別在OM，ON上），若下水管道的總長度為3km，設OA=a（km），OB=b（km）．
（1）求b關于a的函數表達式，并指出a的取值范圍；
（2）已知點P處有一個污水總管的接口，點P到OM的距離PH為

3

4

km，到點O的距離PO為

7

4

km，問下水管道AB能否經過污水總管的接口點P？若能，求出a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把AB的長度用含有a，b的代數式表示，在三角形AOB中利用余弦定理得到b和a的關系，即得到b關于a的函數表達式，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到a的取值范圍；
（2）利用解析法，以O為原點，OM所在直線為x軸，建立直角坐標系，求出P點的坐標，假設AB過點P，設出A，B的坐標，寫出A，B所在直線方程，把P點坐標代入直線方程求出a的值，在定義域當中，則假設成立，否則，不成立．

解答：解：（1）∵OA+OB+AB=3，∴AB=3-a-b．
∵∠MON=60°，由余弦定理，得AB²=a²+b²-2abcos60°．
∴（3-a-b）²=a²+b²+ab．
整理，得b=

2a-3

a-2

．
由a＞0，b＞0，3-a-b＞0，及
a+b＞3-a-b，a+3-a-b＞b，b+3-a-b＞a，得0＜a＜

3

2

．
綜上，b=

2a-3

a-2

，0＜a＜

3

2

．
（2）以O為原點，OM所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標系．

∵PH=

3

4

，PO=

7

4

，∴點P（

1

2

，

3

4

）．
假設AB過點P．
∵A（a，0），B(

1

2

b，

3

2

b)，即B(

1

2

•

2a-3

a-2

，

3

2

•

2a-3

a-2

)，
∴直線AP方程為y=

3 4

1 2 -a

(x-a)，即y=

3

2-4a

(x-a)．
將點B代入，得

3

2

•

2a-3

a-2

=

3

2-4a

(

1

2

•

2a-3

a-2

-a)．
化簡，得6a²-10a+3=0．
∴a=

5± 7

6

．
a=

5± 7

6

∈(0，

3

2

)．
答：下水管道AB能經過污水總管的接口點P，a=

5± 7

6

（km）．

點評：本題考查了根據實際問題選擇函數模型，考查了余弦定理在解三角形中的應用，注意實際問題要有實際意義，是中檔題．