Question

存在兩條直線x=±m與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B，C，D四點，若四邊形ABCD為正方形，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

• A．(1，

  2

  )
• B．(1，

  3

  )
• C．(

  2

  ，+∞)
• D．(

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：把x=±m代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)可得

m2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b

a

m2-a2

．由于四邊形ABCD為正方形，可得|m|=

b

a

m2-a2

，化為m2=

a2b2

b2-a2

．利用m²＞a²，可得

a2b2

b2-a2

＞a2，化為b²＞a²，解出即可．

解答：解：把x=±m代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)可得

m2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b

a

m2-a2

，
∵四邊形ABCD為正方形，∴|m|=

b

a

m2-a2

，化為m2=

a2b2

b2-a2

．
∵m²＞a²，
∴

a2b2

b2-a2

＞a2，化為b²＞a²，∴c²-a²＞a²，
∴e²＞2，解得e＞

2

，
故選C．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、正方形的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．