Question

已知向量

m

=（sin（A-B），sin(

π

2

-A)），

n

=（1，2sinB），且

m

•

n

=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=

3

2

sinC，且S_△ABC=

3

，求邊c的長．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積的坐標公式，結合題意得

m

•

n

=sin（A+B）=-sin2C，利用二倍角的三角函數公式和誘導公式化簡得cosC=-

1

2

，由此即可算出角C的大小；
（II）根據題意，由正弦定理得到a+b=

3

2

c．由三角形面積公式算出ab=4，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子聯解，即可算出c=

4 5

5

．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（sin（A-B），sin(

π

2

-A)），

n

=（1，2sinB），
∴

m

•

n

=sin（A-B）+2sin(

π

2

-A)sinB=sin（A-B）+2cosAsinB=sin（A+B）
∵

m

•

n

=-sin2C，∴sin（A+B）=-sin2C，
∵sin（A+B）=sn（π-C）=sinC，
∴sinC=-2sinCcosC，
結合sinC＞0，得-2cosC=1，cosC=-

1

2

∵C∈（0，π），∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵sinA+sinB=

3

2

sinC，
∴由正弦定理得a+b=

3

2

c．
又∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

，∴ab=4，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab
∴c²=

9

4

c²-ab，可得

5c2

4

=ab=4，解之得c=

4 5

5

．

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標形式，在已知數量積的情況下解△ABC．著重考查了向量的數量積、三角恒等變換和正余弦定理等知識，屬于中檔題．