Question

已知，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，球面被正方體的側面BCC₁B₁，ABB₁A₁截得的兩段弧分別為（如圖所示），則這兩段弧的長度之和等于    ．

Answer 1

【答案】分析：球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和．
解答：解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=2×，AA₁=1，
則∠A₁AE=π/6．同理∠BAF=，所以∠EAF=，
故弧EF的長為：2××=，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，
此時，小圓的圓心為B，半徑為，∠FBG=，
所以弧FG的長為：=．
這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長為：
3×=．
故答案為：．
點評：本題考查空間幾何的性質和綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．