Question

已知拋物線C：y²=12x，點M（-1，0），過M的直線l交拋物線C于A，B兩點．
（Ⅰ）若線段AB中點的橫坐標等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設點A關于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

Answer 1

（Ⅰ）設過點M（-1，0）的直線方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) y2=12x

得k²x²+（2k²-12）x+k²=0．…（2分）
因為k²≠0，且△=（2k²-12）²-4k⁴=144-48k²＞0，
所以，k∈(-

3

，0)∪(0，

3

)．…（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

12-2k2

k2

，x₁x₂=1．…（5分）
因為線段AB中點的橫坐標等于2，所以

x1+x2

2

=

6-k2

k2

=2，…（6分）
解得k=±

2

，符合題意．…（7分）
（Ⅱ）證明：依題意A'（x₁，-y₁），直線A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，…（8分）
又

y

21

=12x1，

y

22

=12x2，
所以y=

12

y2-y1

(x-x2)+y2，…（9分）=

12

y2-y1

x-

y1y2

y2-y1

…（10分）
因為

y

21

y

22

=144x1x2=144，且y₁，y₂同號，所以

y

1

y

2

=12，…（11分）
所以y=

12

y2-y1

(x-1)，…（12分）
所以，直線A'B恒過定點（1，0）．…（13分）