Question

（2006•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x³-

3

2

mx2+n，1＜m＜2．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2，求m、n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-3mx=3x（x-m），根據(jù)導(dǎo)數(shù)f′（x）在[-1，1]上的符號(hào)情況可判斷單調(diào)性，由單調(diào)性可知其最大值、最小值，根據(jù)條件可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知點(diǎn)P（2，1）在曲線f（x）上．分P為切點(diǎn)及P不為切點(diǎn)時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P為切點(diǎn)時(shí)，利用斜率k=f′（2），由點(diǎn)斜式可求切線方程；當(dāng)P不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），利用點(diǎn)斜式表示出切線方程，代入P點(diǎn)坐標(biāo)可求得x₀，從而可得切線方程；

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²-3mx=3x（x-m），
∴由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=m．
又1＜m＜2，x∈[-1，1]，
∴當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=n，∴n=1．
又f(1)=1-

3

2

m+1=2-

3

2

m，f(-1)=-1-

3

2

m+1=-

3

2

m，∴f（-1）＜f（1）．
由題意得f（-1）=-2，即-

3

2

m=-2，解得m=

4

3

．
故m=

4

3

，n=1為所求． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知點(diǎn)P（2，1）在曲線f（x）上．
又f'（x）=3x²-4x，
∴當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時(shí)，切線l的斜率k=f'（2）=4，
∴l(xiāng)的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
當(dāng)切點(diǎn)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），切線l的斜率k=f′(x)|x=x0=3

x

2 0

-4x0，
∴l(xiāng)的方程為 y-y0=(3

x

2 0

-4x0)(x-x0)．
又點(diǎn)P（2，1）在l上，∴1-y0=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，
∴1-(

x

3 0

-2

x

2 0

+1)=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，∴

x

2 0

(2-x0)=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，
∴

x

2 0

=3

x

2 0

-4x0，即2x₀（x₀-2）=0，解得x₀=0．
∴切線l的方程為y=1．    
故所求切線l的方程為4x-y-7=0或y=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．