Question

已知數列{a_n}，當n≥2時滿足1-S_n=a_n-1-a_n，
（1）求該數列的通項公式；
（2）令b_n=（n+1）a_n，求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n=

1

2

an-1，從而{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，由此能求出a_n=

1

2n

．
（2）由b_n=

n+1

2n

，利用錯位相減法能求出數列{a_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}，當n≥2時滿足1-S_n=a_n-1-a_n，
∴1-S_n+1=a_n-a_n+1，
作差，得a_n+1=a_n-1-2a_n+a_n+1，
∴a_n=

1

2

an-1，
又1-S₂=a₁-a₂，即1-a₁-a₂=a₁-a₂，
解得a1=

1

2

，
∴{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
∴a_n=（

1

2

）•（

1

2

）^n-1=

1

2n

．
（2）由（1）得b_n=

n+1

2n

，
∴T_n=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

，①

1

2

Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 - 1 2n • 1 2

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．