Question

26、已知a，b，c是互不相等的實數，求證：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．

Answer 1

分析：本題是一個至少性問題，可以利用反證法證明，其步驟為：①否定命題的結論，即假設“任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點”成立→②根據函數的性質可以得到三個函數對應方程的△≤0均成立→③利用不等式的性質，同向不等式求和→④得到的式子與實數的性質相矛盾→⑤故假設不成立，原結論成立．

解答：解：假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與x有兩個不同的交點
（即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點），
由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b得△₁=（2b）²-4ac≤0，
△₂=（2c）²-4ab≤0，
△₃=（2a）²-4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b²+4c²+4a²-4ac-4ab-4bc≤0，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≤0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0，
∴a=b=c，這與題設a，b，c互不相等矛盾，
因此假設不成立，從而命題得證．

點評：當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現時，宜用反證法來證．反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實矛盾等方面．反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器．