Question

(本小題滿分14分)
己知函數，(Ⅰ)證明函數是R上的增函數；
(Ⅱ)求函數的值域．(Ⅲ)令．判定函數的奇偶性，并證明

Answer 1

(Ⅰ)略     (Ⅱ) (－1,1)      (Ⅲ)略

(Ⅰ)設x, x是R內任意兩個值,且x< x,則△x= x－x>0
△y=y－y=f(x)－f(x)=  － 
=  = ………………………… (2分)
當x< x時，2< 2  ∴2－2>0.又2+1>0,2+1>0
∴△y>0，∴f ( x)是R上的增函數。…………………… （4分）
（Ⅱ）f(x)=  =1－……………………………………………(6分)
∵2+1>1 ∴0<  <2,即－2<－<0，就是－1<1－ <1
∴f(x)的值域為(－1,1)……………………………………… (8分)
(Ⅲ)由題意知g(x)=· ………………（11分）
易知函數 g(x)的定義域為(－∞,0)∪(0,+∞)
g(－x)= ·＝· = －· =－g(x)
∴函數g(x)為奇函數………………………………………………………………(14分)