Question

如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系．點在正方體的對角線上，點在正方體的棱上．
（１）  當點為對角線的中點，點在棱上運動時，探究的最小值；
（２）  當點為棱的中點，點在對角線上運動時，探究的最小值；
（３）  當點在對角線上運動，點在棱上運動時，探究的最小值．
由以上問題，你得到了什么結論？你能證明你的結論嗎？
 

Answer 1

（1）有最小值 （2）取得最小值 （3）最小值是

設正方體的棱長為．
（１）  當點為對角線的中點時，點的坐標是．
因為點在線段上，設．
　　　．
當時，的最小值為，即點在棱的中點時，有最小值．
（２）  因為在對角線上運動．是定點，所以當
時，最短．因為當點為棱的中點時，，是等腰三角形，所以，當點是的中點時，取得最小值．
（３）  當點在對角線上運動，點在棱上運動
時，的最小值仍然是．
證明：如下圖，設，由正方體的對稱性，顯然有．
設在平面上的射影是．在中，，所以，即有．
所以，點的坐標是．
由已知，可設，則
．
當時，取得最小值，最小值是．