Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函數f（x）無零點，求證：b＞0；
（2）若函數f（x）有兩個零點，且兩零點是相鄰兩整數，求證：f(-a)=

1

4

(a2-1)；
（3）若函數f（x）有兩非整數零點，且這兩零點在相鄰兩整數之間，試證明：存在整數k，使得|f(k)|＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）只需要轉化為相應方程的根的問題即可解答；
（2）充分利用函數與方程的思想，在對應方程當中利用韋達定理即可解答；
（3）當中充分利用數形結合的思想即可獲得相應的不等條件，再結合二次函數配方利用函數的思想即可獲得函數值的范圍．

解答：解：（1）證明：f（x）=x²+ax+b無零點，
△=a²-4b＜0，
b＞

a2

4

≥0．
（2）證明：設f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
則2m+1=-a，m(m+1)=b=

1

4

(a2-1)，
所以f(-a)=b=

1

4

(a2-1)．

（3）證明：設相鄰兩整數為t、t+1，則f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a²-4b＞0，
根據二次函數的單調性，f^/（t）=2t+a＜0，f^/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
從而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+

a

2

＜0．
所以0＜t+

a

2

+1≤

1

2

或-

1

2

＜t+

a

2

＜0．
若0＜t+

a

2

+1≤

1

2

，
則0＜f(t+1)=(t+1+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，從而|f(t+1)|＜

1

4

；
若-

1

2

＜t+

a

2

＜0，
則0＜f(t)=(t+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，從而|f(t)|＜

1

4

．
所以，存在整數k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜

1

4

．

點評：此題考查了零點概念、代數恒等變形、含參數的二次函數等知識，是對二次函數性質比較綜合和深刻的考查．在解答過程當中問題轉化的能力以及數形結合的思想得到了淋漓盡致的考查，值得同學們體會反思．