Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點．
（1）求證：BM∥平面PAD；
（2）在側面PAD內找一點N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點E，連接EM，EA，證明四邊形ABME為平行四邊形，可得BM∥AE，利用線面平行的判定，可證BM∥平面PAD；
（2）以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用

MN

•

PB

=0，

MN

•

DB

=0，即可確定N的坐標；
（3）設直線PC與平面PBD所成的角為θ，則

PC

=(2，2，-2)，

MN

=(-1，-

1

2

，-

1

2

)，利用向量的夾角公式，可求直線PC與平面PBD所成角的正弦值•

解答：（1）證明：取PD的中點E，連接EM，EA，則EM∥AB，且EM=AB
所以四邊形ABME為平行四邊形，所以BM∥AE
又AE?平面PAD，BM不在平面PAD內，∴BM∥平面PAD；
（2）解：以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系

則B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假設存在滿足題意的點，則在平面PAD內，設N（0，y，z）
∴

MN

=(-1，y-1，z-1)，

PB

=(1，0，-2)，

DB

=(1，-2，0) 
由

MN

•

PB

=0，

MN

•

DB

=0，可得

-1-2z+2=0 -1-2y+2=0

，∴

y= 1 2 z= 1 2

∴N（0，

1

2

，

1

2

），∴N是AE的中點，此時MN⊥平面PBD；
（3）解：設直線PC與平面PBD所成的角為θ，則

PC

=(2，2，-2)，

MN

=(-1，-

1

2

，-

1

2

)，
設＜

PC

，

MN

＞為α，則cos＜

PC

，

MN

＞=

PC • MN

| PC || MN |

=

-2

2 3 × 6 2

=-

2

3

∴sinθ=-cosα=

2

3

故直線PC與平面PBD所成角的正弦值為

2

3

•

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確確定向量坐標是關鍵．