Question

有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF，如圖建立平面直角坐標系．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果限定矩形的長CD為9米，那么矩形的高DE不能超過多少米，才能使船通過拱橋．
（3）若設EF=a，請將矩形CDEF的面積S用含a的代數式表示，并指出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．利用待定系數法，把已知坐標（-9，-8），（9，-8），（0，0）代入解析式求得拋物線的解析式．
（2）已知CD=9，把已知坐標代入函數關系式可求解．
（3）已知EF=a，易求出E點坐標以及ED的表示式．易求矩形CDEF的面積．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
把已知坐標（-9，-8），（9，-8），（0，0）代入解析式，
求得a=-

8

81

，b=0，c=0．
故拋物線的解析式為y=-

8

81

x²．（2分）
（2）∵CD=9
∴點E的橫坐標為

9

2

，則點E的縱坐標為 -

8

81

×(

9

2

)2=-2
∴點E的坐標為 (

9

2

，-2)，
因此要使貨船能通過拱橋，則貨船最大高度不能超過8-2=6（米）（5分）
（3）由EF=a，則E點坐標為 (

1

2

a，-

2

81

a2)，
此時 ED=8-|-

2

81

a2|=8-

2

81

a2
∴S_矩形CDEF=EF•ED=8a-

2

81

a³（0＜a＜18）．（7分）

點評：本題考查的函數模型的選擇與應用，主要考查的是二次函數的實際應用以及矩形面積的運算．