Question

（2013•茂名二模）已知函數f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）當a=x時，求函數g（x）的單調區間；
（2）若f（x）存在極值點，求實數b的取值范圍；
（3）當b=0時，令F（x）=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．P（x₁，F（x₁）），Q（x₂，F（x₂））為曲線y=F（x）上的兩動點，O為坐標原點，能否使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=x代入可得解析式，求導數令其分別大于0，小于0，可得單調遞增，減區間；
（2）問題等價于方程-3x²+2x+b=0有兩個不相等的實數根，由△＞0可得；
（3）把b=0代入可得解析式，問題等價于

OP

•

OQ

=0，且x₁+x₂=0，不妨設x₁=t＞0，可得PQ的坐標，進而可得數量積，分0＜t＜1，t=1，和t＞1討論可得結論．

解答：解：（1）當a=x時，函數g（x）=xlnx，∴g′（x）=lnx+1，
令g′（x）＜0解得0＜x＜

1

e

，∴函數g（x）的單調遞減區間為（0，

1

e

），
令g′（x）＞0解得x＞

1

e

，∴函數g（x）的單調遞增區間為（

1

e

，+∞）；
（2）∵f′（x）=-3x²+2x+b，若f（x）存在極值點，
則f′（x）=-3x²+2x+b=0有兩個不相等的實數根，
所以△=4+12b＞0，解得b＞-

1

3

；
（3）當b=0時，F（x）=

-x3+x2     x＜1 alnx             x≥1

，
假設使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，斜邊中點在y軸上，
則

OP

•

OQ

=0，且x₁+x₂=0，不妨設x₁=t＞0，
故P（t，F（t）），則Q（-t，t³+t²），
∴

OP

•

OQ

=-t²+F（t）（t³+t²）=0（*）該方程有解，
若0＜t＜1，則F（t）=-t³+t²，代入方程（*）得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
化簡可得t⁴-t²+1=0，此方程無實數解；
當t=1時，

OP

=（1，0），

OQ

=（-1，2），

OP

•

OQ

≠0；
當t＞1時，F（t）=alnt，代入方程（*）得-t²+a（t³+t²）•lnt=0，即

1

a

=（t+1）lnt，
設h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx+

1

x

+1＞0在[1，+∞）恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，故h（x）≥h（1）=0，即h（x）的值域為[0，+∞）
∴當a＞0時，方程

1

a

=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解，
總上所述，對任意給定的正實數a，曲線y=F（x）上總存在兩點PQ，
使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，涉及函數單調性的研究和分類討論的思想，屬中檔題．