Question

如圖，直線L過點(diǎn)P（0，1），夾在兩已知直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0之間的線段AB恰被點(diǎn)P平分．
（1）求直線l的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，m），且AD∥l₁，求：△ABD的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線l₁上的動點(diǎn)B的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A的坐標(biāo)，代入直線l₂的方程求得a的值；
（2）利用直線平行斜率相等求出m的值，得到D的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出AD的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出AD邊上的高，代入面積公式得答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B在直線l₁：2x+y-8=0上，可設(shè)B（a，8-2a），
又P（0，1）是AB的中點(diǎn)，
∴A（-a，2a-6），
∵點(diǎn)A在直線l₂：x-3y+10=0上，∴-a-3（2a-6）+10=0，
解得a=4，即B（4，0）．
故直線l的方程是x+4y-4=0；
（2）由（1）知A（-4，2），
又AD∥l₁，則kAD=

2-m

-4-0

=-2，
∴m=-6，則D（0，-6）．
點(diǎn)A到直線l₁的距離d=

|-4×2+2×1-8|

22+12

=

14 5

5

，
|AD|=

(-4-0)2+(2+6)2

=4

5

，
∴S△ABD=

1

2

|AD|•d=

1

2

•4

5

•

14

5

=28．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了兩條直線的交點(diǎn)問題，訓(xùn)練了直線平行和斜率的關(guān)系．