Question

18、已知曲線y=x³-6x²+11x-6．在它對應于x∈[0，2]的弧段上求一點P，使得曲線在該點的切線在y軸上的截距為最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：求出曲線方程的導函數，在曲線上取一點設P（x₀，y₀），把x₀代入到導函數中求出切線方程的斜率，根據P點坐標和斜率寫出切線的方程，令x等于0表示出切線在y軸上的截距r，求出r′，判斷r′大于0得到r為增函數，得到r在x₀=0處取到最小值，把x₀=0代入r求出最小值即可．

解答：解：已知曲線方程是y=x³-6x²+11x-6，因此y'=3x²-12x+11
在曲線上任取一點P（x₀，y₀），則點P處切線的斜率是y'|_x=x0=3x₀²-12x₀+11
點P處切線方程是y=（3x₀²-12x₀+11）（x-x₀）+y₀
設這切線與y軸的截距為r，則
r=（3x₀²-12x₀+11）（-x₀）+（x₀³-6x₀²+11x₀-6）=-2x₀³+6x₀²-6
根據題意，要求r（它是以x₀為自變量的函數）在區間[0，2]上的最小值
因為r'=-6x₀²+12x₀=-6x₀（x₀-2）
當0＜x₀＜2時r'＞0，因此r是增函數，
故r在區間[0，2]的左端點x₀=0處取到最小值，即在點P（0，-6）處切線在y軸上的截距最小
這個最小值是r_最小值=-6

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線的斜率，會利用導數求閉區間上函數的最小值，是一道中檔題．