Question

如圖，已知雙曲線C₁：

x2

2

-y2=1，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁-C₂型點“
（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C₁-C₂型點”；
（3）求證：圓x²+y²=

1

2

內的點都不是“C₁-C₂型點”

Answer 1

（1）C₁的左焦點為（-

3

，0），寫出的直線方程可以是以下形式：
x=-

3

或y=k(x+

3

)，其中|k|≥

3

3

．
（2）證明：因為直線y=kx與C₂有公共點，
所以方程組

y=kx |y|=|x|+1

有實數解，因此|kx|=|x|+1，得|k|=

|x|+1

|x|

＞1．
若原點是“C₁-C₂型點”，則存在過原點的直線與C₁、C₂都有公共點．
考慮過原點與C₂有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．
顯然直線x=0與C₁無公共點．
如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組

y=kx x2 2 -y2=1

，得x2=

2

1-2k2

＜0，矛盾．
所以直線y=kx（|k|＞1）與C₁也無公共點．
因此原點不是“C₁-C₂型點”．
（3）證明：記圓O：x2+y2=

1

2

，取圓O內的一點Q，設有經過Q的直線l與C₁，C₂都有公共點，顯然l不與x軸垂直，
故可設l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間，
從而過Q且以k為斜率的直線l與C₂無公共點，矛盾，所以|k|＞1．
因為l與C₁由公共點，所以方程組

y=kx+b x2 2 +y2=1

有實數解，
得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-2=0．
因為|k|＞1，所以1-2k²≠0，
因此△=（4kb）²-4（1-2k²）（-2b²-2）=8（b²+1-2k²）≥0，
即b²≥2k²-1．
因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離d=

|b|

1+k2

，
所以

b2

1+k2

=d2＜

1

2

，從而

1+k2

2

＞b2≥2k2-1，得k²＜1，與|k|＞1矛盾．
因此，圓x2+y2=

1

2

內的點不是“C₁-C₂型點”．