Question

設A，B分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內．
（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意可求得a和c的關系，進而根據準線方程求得a和c，則b可得，進而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的橢圓方程可求得A，B的坐標，設出點M的坐標，代入橢圓方程，由P、A、M三點共線可以求得點P的坐標，進而表示出•根據2-x＞0判斷出•＞0，進而可知∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，判斷出點B在以MN為直徑的圓內．
解答：解：（Ⅰ）依題意得a=2c，=4，
解得a=2，c=1，從而b=．
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．
設M（x，y）．
∵M點在橢圓上，
∴y²=（4-x²）（1）
又點M異于頂點A、B，
∴-2＜x＜2，由P、A、M三點共線可以得
P（4，）．
從而=（x-2，y），=（2，）．
∴•=2x-4+=（x²-4+3y²）．（2）
將（1）代入（2），化簡得•=（2-x）．
∵2-x＞0，
∴•＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點B在以MN為直徑的圓內．
點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．