Question

【題目】如圖1，在△中， ， ， 分別為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．將△沿折起到△的位置，使．點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，如圖2．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）線段上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）在線段上存在中點(diǎn)，使平面．

且（3）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得．再由折疊中不變的垂直關(guān)系得，根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得 ．最后再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空間向量研究線面平行關(guān)系，即通過平面法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行研究，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出平面法向量，利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據(jù)平面法向量與直線方向向量數(shù)量積為零列式求解參數(shù).（3）利用空間向量求線面角，仍是先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出平面法向量，利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角之間互余關(guān)系列式求線面角大小.

試題解析：解：（Ⅰ）

因?yàn)?/span>，

所以△為等邊三角形．

又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

所以．

由題可知，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以 ．

又，所以平面．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面， ，如圖

建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，

， ， ， ．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

,，

所以即

令，所以，所以

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/14/e30bb3b0/SYS201712291439006281273551_DA/SYS201712291439006281273551_DA.053.png" width="39" height="21" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面．

設(shè)， .

又，所以．

所以.則.

所以.

解得， .

則在線段上存在中點(diǎn)，使平面．

且

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，又，所以．

所以．又因?yàn)?/span>，

所以．

因?yàn)?/span>設(shè)直線與平面所成角為，

則

直線與平面所成角為.