Question

（1）求證：a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²，（a，b∈R₊）；
（2）用反證法證明：若a，b，c均為實數，且，，，求證a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

證明：（1）∵a，b∈R₊，且a⁵+b⁵-（ a²b³+a³b² ）=a²（a³-b³）+b²（b³-a³）=（a³-b³）（a²-b²），
當a≥b＞0時，（a³-b³）≥0，（a²-b²）≥0，∴（a³-b³）（a²-b²）≥0，
故 a⁵+b⁵≥a²b³+a³b² ．
當b≥a＞0時，（a³-b³）≤0，（a²-b²）≤0，∴（a³-b³）（a²-b²）≥0，
故 a⁵+b⁵≥a²b³+a³b² ．
（2）假設a、b、c都小于或等于0，則有a+b+c=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3≤0，
故 （x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≤3-π＜0，矛盾，故假設不成立，
即a，b，c中至少有一個大于0．
分析：（1）化簡a⁵+b⁵-（ a²b³+a³b² ）等于 （a³-b³）（a²-b²），分a≥b＞0時和b≥a＞0時兩種情況，都能推出（a³-b³）（a²-b²）≥0，從而證得不等式成立．
（2）假設a、b、c都小于或等于0，則有a+b+c=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3≤0，得出矛盾，可得假設不成立，命題得證．
點評：本題主要考查用比較法證明不等式，用反證法證明不等式，體現了分類討論的數學而思想，屬于中檔題．