Question

通過計算可得下列等式：

2²-1²=2×1+1,

3²-2²=2×2+1,

4²-3²=2×3+1,

……

(n+1)²-n²=2n+1.

將以上各等式兩邊分別相加得（n+1）²-1²=2(1+2+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.

（1）類比上述求法，請你求出1²+2²+3²+…+n²的值.

（2）根據上述結論試求1²+3²+5²+…+99²的值.?

Answer 1

解：（1）∵2³-1³=3×1²+3×1+1,?

3³-2³=3×2²+3×2+1,?

4³-3³=3×3²+3×3+1,?

……?

(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1.?

將以上各式兩邊分別相加得?

(n+1)³-1³=3(1²+2²+…+n²)+3(1+2+…+n)+n,?

∴1²+2²+…+n²?

=［(n+1)³-1-n-3n］?

=n(n+1)(2n+1).?

(2)1²+3²+5²+…+99²=1²+2²+3²+…+100²-(2²+4²+6²+…+100²)?

=1²+2²+3²+…+100²-4(1²+2²+3²+…+50²)?

=×100×101×201-4××50×51×101?

=166 650.