Question

（12分）已知函數
(Ⅰ)當時,求函數的最小值;
(Ⅱ)若對任意,恒成立,試求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 時,取得最小值.(Ⅱ) .

試題分析：（1）先將原式化成求解導數f‘(x)，再利用導數的正負與函數單調性的關系，即可求得函數f（x）的最小值；
（2）原題等價于x²+2x+a＞0對x∈[1，+∞）恒成立，再結合二次函數的單調性只須g（1）＞0，從而求得實數a的取值范圍；
解(Ⅰ) 時,(因為)
所以,在上單調遞增,故時,取得最小值.
(Ⅱ) 因為對任意,恒成立,即恒成立,只需恒成立，只需,因為,
所以,實數的取值范圍是.
點評：解決該試題的關鍵是是對于同一個問題的不同的處理角度，可以運用均值不等式得到最值，也可以結合導數的工具得到最值，對于恒成立問題一般都是轉換為求解函數的 最值即可得到。