Question

設a為非負實數，函數f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當a=2時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）討論函數y=f（x）的零點個數，并求出零點．

Answer 1

【答案】分析：（I）先討論去絕對值，寫成分段函數，然后分別當x≥2時與當x＜2時的單調區間；
（II）討論a的正負，利用二次函數的單調性以及函數的極小值與0進行比較，進行分別判定函數y=f（x）的零點個數．
解答：解：（Ⅰ）當a=2時，，①當x≥2時，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調遞增；
②當x＜2時，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調遞減，在（-∞，1）上單調遞增；
綜上所述，f（x）的單調遞增區間是（-∞，1）和（2，+∞），單調遞減區間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當a=0時，f（x）=x|x|，函數y=f（x）的零點為x=0；
（2）當a＞0時，，
故當x≥a時，，二次函數對稱軸，
∴f（x）在（a，+∞）上單調遞增，f（a）＜0；
當x＜a時，，二次函數對稱軸，
∴f（x）在上單調遞減，在上單調遞增；
∴f（x）的極大值為，
1°當，即0＜a＜4時，函數f（x）與x軸只有唯一交點，即唯一零點，
由x²-ax-a=0解之得函數y=f（x）的零點為或（舍去）；
2°當，即a=4時，函數f（x）與x軸有兩個交點，即兩個零點，分別為x₁=2和；
3°當，即a＞4時，函數f（x）與x軸有三個交點，即有三個零點，
由-x²+ax-a=0解得，，
∴函數y=f（x）的零點為和．
綜上可得，當a=0時，函數的零點為0；
當0＜a＜4時，函數有一個零點，且零點為；
當a=4時，有兩個零點2和；
當a＞4時，函數有三個零點和．
點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數零點問題，同時考查了分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．